整数

定义:记 [ x ] (也记做\lfloor x\rfloor)为小于等于实数x的最大整数。显然满足\left[ x\right] \leq x <\left[ x\right] +1

一些性质

如果n是整数,则\left[ x+n\right] =\left[ x\right] +n

-[-x]是大于等于x的最小整数

\left[ x+\dfrac {1}{2}\right]是最接近x的整数

\begin{aligned}\left[ x\right] +\left[ -x\right] =\begin{cases}0\left( x\in \mathbb{Z} \right) \\ -1 \left( x \notin \Bbb Z\right) \end{cases}\end{aligned}

\begin{aligned}\left[ x+y\right] \geq \left[ x\right] +\left[ y\right] \left( x,y\in \mathbb{R} \right) \end{aligned}
\begin{aligned}\left[ 2x\right] +\left[ 2y\right] \geq \left[ x\right] +\left[ y\right] +\left[ x+y\right] \left( x,y\in \mathbb{R} \right) \end{aligned}

\begin{aligned}\left[ xy\right] \geq \left[ x\right] \left[ y\right] \left( x,y\in \mathbb{R} ^{+}\right) \\ \left[ xy\right] \leq \left[ x\right] \left[ y\right] \left( x,y\in \mathbb{R} ^{-}\right) \end{aligned}

\begin{aligned}\left[ \dfrac {x+n}{m}\right] =\left[ \dfrac {\left[ x\right] +n}{m}\right] \left( m,n\in \mathbb{Z} \right)\end{aligned}

\begin{aligned} \left[ \sqrt {\left[ x\right] }\right] =\left[ \sqrt {x}\right] \left( x\in \mathbb{Z} ^{+}\right) \end{aligned}

一个稍重要的恒等式

\begin{aligned}\left[ nx\right] =\sum ^{n}_{i=1}\left[ x+\dfrac {i-1}{n}\right] \left( n\in \mathbb{N} ^{+}\right) \end{aligned}

证明

f(x)=[nx]-\sum^{n}_{i=1}[x+ \frac {i-1}{n}]

f(x+\frac{1}{n})=f(x)f(x)为周期为\frac{1}{n}的函数。

\therefore \forall x \in \R , \exists k \ \ s.t. \ \ x-\frac{k}{n} \in [0,1),此时f(x-\frac{k}{n})=0

\therefore恒有f(x)=0

[nx]-\sum^{n}_{i=1}[x+ \frac {i-1}{n}]=0

应用

n=2
\\ \left[ x\right] +\left[ x+\dfrac {1}{2}\right] =\left[ 2x\right] \left( x\in \mathbb{R} \right)
未完)

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