整数

(全文未完,待更新,也可能永远咕咕咕)

基本概念

1.良序性质:每个非空正整数集合都有一个最小元

2.取整函数:记(也记做\lfloor x\rfloor​)是小于等于x的最大整数,满足\left[ x\right] \leq x <\left[ x\right] +1​

3.分数部分:记{x}=x-[x]

4.谱序列:实数\alpha​的谱序列是第n​项为[n\alpha]​的一个序列。

6.强Dirichlet逼近定理:如果\alpha​是实数,n​是正整数,则存在整数a,1\leq a\leq n​和整数b​使得\left| a\alpha -b\right| <\dfrac {1}{n+1}.​

5.[定理]有理数集合是可数的。

取整函数的性质

(在这一栏,如果没有特殊说明,默认x \in \Bbb R​)

性质0:如果n是整数,则\forall x\in R,\left[ x+n\right] =\left[ x\right] +n

第一组

-[-x]​是大于等于x​的最小整数

\left[ x+\dfrac {1}{2}\right]是最接近x的整数

\begin{aligned}\left[ x\right] +\left[ -x\right] =\begin{cases}0\left( x\in \mathbb{Z} \right) \\ -1 \left( x \notin \Bbb Z\right) \end{cases}\\ \left[ x\right] +\left[ x+\dfrac {1}{2}\right] =\left[ 2x\right] \left( x\in \mathbb{R} \right) \end{aligned}​

第二组

\begin{aligned}\left[ x+y\right] \geq \left[ x\right] +\left[ y\right] \left( x,y\in \mathbb{R} \right) \\ \left[ 2x\right] +\left[ 2y\right] \geq \left[ x\right] +\left[ y\right] +\left[ x+y\right] \left( x,y\in \mathbb{R} \right) \end{aligned}​

第三组

\begin{aligned}\left[ xy\right] \geq \left[ x\right] \left[ y\right] \left( x,y\in \mathbb{R} ^{+}\right) \\ \left[ xy\right] \leq \left[ x\right] \left[ y\right] \left( x,y\in \mathbb{R} ^{-}\right) \end{aligned}​

第四组

\begin{aligned}\left[ \dfrac {x+n}{m}\right] =\left[ \dfrac {\left[ x\right] +n}{m}\right] \left( m,n\in \mathbb{Z} \right) \end{aligned}​

\begin{aligned} \left[ \sqrt {\left[ x\right] }\right] =\left[ \sqrt {x}\right] \left( x\in \mathbb{Z} ^{+}\right) \end{aligned}​

\begin{aligned}\left[ mx\right] =\sum ^{m}_{j=1}\left[ x+\dfrac {j-1}{m}\right] \left( m\in \mathbb{N} ^{+}\right) \end{aligned}​

和式的简单性质

\sum ^{n}_{j=m}ca_{j}=c\sum ^{n}_{j=m}a_{j}

\sum ^{n}_{j=m}\left( a_{j}+b_{j}\right) =\sum ^{n}_{j=m}a_j+\sum ^{n}_{j=m}b_{j}

\sum ^{n}_{i=m}\sum ^{q}_{j=p}a_{i}b_{j}=\left( \sum ^{n}_{i=m}a_{i}\right) \left( \sum ^{q}_{j=p}b_{j}\right) =\sum ^{q}_{j=p}\sum ^{n}_{i=m}a_{i}b_{j}

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